Cálculo IV

Sobre esta disciplina

Período: 4º Período · Núcleo: Básico · Carga Horária: 80h Tópicos: Séries de Taylor e Maclaurin. Noções de funções de variável complexa. Singularidades e séries de Laurent. Resíduos e polos. Integração complexa.

Campo	Valor
Código	CSECBJI.31
Núcleo	Básico
Carga Horária	80
Período	4º Período
Pré-requisitos	CSECBJI.17 - Cálculo III

🔒 Trancas

• CSECBJI.83 - Processamento de Sinais

📋 Ementa

Séries de Taylor e Maclaurin. Noções de funções de variável complexa. Singularidades e séries de Laurent. Resíduos e polos. Integração complexa. Teorema de Cauchy-Goursat. Teorema do resíduo. Transformada de Laplace. Séries de Fourier. Transformada de Fourier.

🎯 Objetivos

• Compreender e aplicar os principais resultados sobre séries de potências que representam funções reais;
• Adquirir noções de funções de variável complexa;
• Desenvolver funções de variável complexa em séries de Laurent;
• Classificar singularidades e calcular resíduos de funções de variável complexa;
• Aplicar o cálculo de resíduos à obtenção da transformada inversa de Laplace;

📖 Conteúdo Programático

1. Sequências e séries

• Definições e notações;
• Critérios de convergência;
• Propriedades.

2. Séries de Taylor e Maclaurin

• Séries de potências;
• Teste da razão;
• Raio e intervalo de convergência;
• Séries de Taylor e Maclaurin;
• Propriedades.

3. Noções de funções de variável complexa

• Revisão de números complexos;
• A exponencial complexa e a identidade de Euler;
• Exemplos de funções de variável complexa.

4. Singularidades e séries de Laurent

• Desenvolvimento de funções de variável complexa em séries de potências;
• Funções analíticas;
• Singularidades;
• Séries de Laurent (obtenção a partir de propriedades e séries de Taylor e Maclaurin);
• Classificação de singularidades a partir da série de Laurent;
• Outros métodos para a classificação de singularidades.

5. Resíduos e polos

• Definição de resíduo de uma função em uma singularidade;
• Cálculo através da definição;
• Métodos de cálculo específicos para polos;
• Aplicações.

6. Integração complexa

• Definição;
• Teorema de Cauchy-Goursat;
• Fórmulas de Cauchy;
• Teorema do resíduo;

7. Transformada de Laplace

• Definição e propriedades;
• Aplicação na resolução de problemas de valor inicial envolvendo EDOs lineares de coeficientes constantes.

8. Séries de Fourier

• Periodicidade de funções.
• Cálculo da série de Fourier – equações de análise e síntese;
• Séries de Fourier de funções pares e ímpares;
• Séries de Fourier complexas.

9. Transformada de Fourier

• Definição e propriedades;
• Aplicações.

📕 Bibliografia Básica

1. BOYCE, W. E, DIPRIMA, R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. 10.ª Edição Rio de Janeiro: LTC, 2015.
2. GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo: Volume 4. 3ª Edição. Rio de Janeiro: LTC, 2018
3. ZILL, D. G., CULLEN, M. R. Equações Diferenciais: Volume 1. 3ª Edição. São Paulo: Pearson, 2001.

📗 Bibliografia Complementar

1. BRONSON, R., COSTA, G. Equações Diferenciais. 3ª Edição. Porto Alegre: Bookman, 2008.
2. BROWN, J. W., CHURCHIL, R. V. Variáveis Complexas e Aplicações. 9ª Edição. São Paulo: McGraw Hill, 2015.
3. MCMAHON, D. Variáveis Complexas Desmitificadas: Um Guia para o Autoaprendizado. São Paulo:
4. Ciência Moderna, 2009.
5. SPIEGEL, M. R., WREDE, R. C. Cálculo Avançado. 2ª Edição. Porto Alegre: Bookman.
6. ZILL, D. Equações Diferenciais: Com Aplicações em Modelagem. 3ª Edição. São Paulo: Cengage Learning, 2016.