260401-Aula-Aula02-1

Notas de Aula - Aula02

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Fila M/M/1/$\infty$/FIFO

Fila com 1 processador, capacidade infinita de fila

Resolução Exemplo 1:

Dados: 600 requisições 80 requisições por segundo

Propriedades de Filas: Taxa de Chegada: $\lambda =\frac{600}{60}=10$ req/s Taxa de Serviço: $\mu =80$ req/s Taxa de utilização do servidor: $\rho =\frac{\lambda }{\mu }=\frac{10}{80}=0,125=12,5\%$ Probabilidade de não ter ninguém: $P_0=1-\rho =1-0,125=0,875=87,5\%$ Intensidade do tráfego: $U=\frac{\lambda }{\mu }=\frac{10}{80}=0,125=\rho$ (inteiro) Erlangs, no caso, 1 Erlang Todas as probabilidades: $p_n=(\frac{\lambda }{\mu }{)}^n\cdot P_0=0,125^n\cdot 0,875$ Probabilidade de ter 8 clientes: $p_8=5\cdot 10^{-8}$ Numero médio de Requisições: $E[n]=\frac{\rho }{1-\rho }=\frac{0,125}{0,875}=0,142857$ s Probabilidade de ter n ou mais requisições no sistema: $P={\rho }^n=9,31^{-10}$ Tempo médio de resposta: $E[s]=\frac{1}{\mu (1-\rho )}=\frac{1}{80\cdot 0,875}=0,0142$ s Tempo médio de espera na fila: $E[w]=E[s]-\frac{1}{\mu }=0,0142-\frac{1}{80}=0,00018$ s Número médio de requisições na fila: $E[n_w]=\frac{{\rho }^2}{1-\rho }=\frac{0,125^2}{0,875}=0,0178$ requisições

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Fila M/M/m/$\infty$/FIFO

Fila com m processadores, capacidade de fila inifnita.

Variáveis:

Taxa de chegada: $\lambda$ Taxa de serviço: $\mu =\{\begin{array}{l}n\mu \text{se}1\le n<m\\ m\mu \text{se}n\ge m\end{array}$ Probabilidade: $P_n=\{\begin{array}{l}\frac{1}{n!}{U}^n\cdot P_0\text{se}1\le n<m\\ \frac{1}{m!m^{n-m}}{U}^n\cdot P_0\text{se}n\ge m\end{array}$ Taxa de Utilização: $\rho =\frac{\lambda }{m\mu }$ Intensidade do Tráfego: $U=\frac{\lambda }{\mu }$ Erlangs Se todos os clientes $n$ estão sendo atentidos ($n<m$): $\frac{1}{n!}{U}^n\cdot P_0$ Se todos os $m$ servidores estão ocupados, há clientes $n-m$ na fila ($n>m$): $\frac{1}{m!m^{n-m}}{U}^n\cdot P_0$ Probabilidade de não ter ninguém: $P_0=(\frac{U^m}{m!(1-\rho )}+{\sum }_{n=0}^{m-1}\frac{U^n}{n!}{)}^{-1}$ O inverso dessa soma é utilizado para calcular a probabilidade $P_0$ Probabilidade de todos os servidores estarem ocupados: $P[\text{fila}]=C(m,\rho )=P_0\frac{U^m}{m!(1-\rho )}$

**Nota: $\rho$ não pode ser 1

Medidas de desempenho:

• Número médio de requisições em espera: $E[n_w]=\frac{\rho }{1-\rho }C(m,\rho )$
• Número médio de requisições em atendimento: $E[n_S]=U$
• Número de requisições no sistema: $E[n]=E[n_w]+E[n_s]$
• Tempo médio de resposta: $E[s]=\frac{E[n]}{\lambda }$
• Tempo médio de espera na fila: $E[w]=\frac{E[n_w]}{\lambda }$

Resolução Exemplo:

CPUS: $m=5$ Chegada: $\lambda =20$ reqs/s Serviço: $\mu =5$ reqs/s

Cálculos: Taxa de utilização por sevidor ($\rho$): Intensidade de tráfego (U): Probabilidade de nenhuma requisição no sistema ($P_0$): Probabilidade de todas as CPUs estarem ocupadas (C(m, $\rho$)): Número de requisições no sistema (E$[n]$): Número médio de requisições em espera (E$[n_w]$): Número médio de requisições em atendimento (E$[n_s]$): Número de requisições no sistema (E$[n]$): Tempo médio de resposta (E$[s]$): Tempo médio de espera na fila (E$[w]$):

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Fila M/M/1/B/FIFO

Fórmulas: Taxa de chegada ($\lambda$):

$${\lambda }_n=\{\begin{array}{ll}\lambda & \text{se }n<B\\ 0& \text{se }n\ge B\end{array}$$

Taxa de serviço ($\mu$):

Taxa de Utilização Servidor ($\rho$): $\frac{\lambda }{\mu }$

Taxa de Utilização Sistema (U): $U=\rho (1-P_B)$

Probabilidade de n usuários no sistema

$$P_n=\{\begin{array}{llc}& \frac{1-\rho }{1-{\rho }^{B+1}}{\rho }^n,& \text{se }0\le n<B\\ & 0& \text{se }n>B\end{array}$$

Sistema vazio = $P_0$

Taxa Efetiva ${\lambda }^{\prime }=\lambda (1-P_B)$

Taxa Média Rejeição = ${\lambda }_{\text{perda}}=\lambda {\text{P}}_B$

Número médio de usuários no sistema ($\text{E}[n]$): $\text{E}[n]=\frac{\rho }{1-\rho }-\frac{(B+1){\rho }^{B+1}}{1-{\rho }^{B+1}}$

Número médio de usuários na fila ($\text{E}[n_w]$): $\text{E}[n_w]=\frac{\rho }{1-\rho }-\rho \frac{1+B{\rho }^B}{1-{\rho }^{B+1}}$

Tempo Médio de Resposta ($\text{E}[s]$): $\text{E}[s]=\frac{E[n]}{\lambda (1-P_B)}$

Número médio de espera ($\text{E}[w]$): $\text{E}[w]=\frac{E[n_w]}{\lambda (1-P_B)}$

Resolução Exemplo:

Chegada: $\lambda =10$ reqs/s Serviço: $\mu =12$ reqs/s Capacidade Máxima B: $5$ requisições

Cálculos: Taxa de utilização por sevidor ($\rho$): Intensidade de tráfego (U): Probabilidade de nenhuma requisição no sistema ($P_0$): Probabilidade do sistema descartar requisições ($P_B$); Taxa efetiva de chegada (${\lambda }^{\prime }$); Taxa efetiva de perda (${\lambda }_{\text{perda}}$); Número médio de usuários no sistema (E$[n]$): Número médio de usuários na fila (E$[n_w]$): Tempo médio de resposta (E$[s]$): Tempo médio de espera (E$[w]$):

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Fila M/M/m/B/FIFO

Fórmulas:

Taxa de serviço $\lambda$

$${\lambda }_n=\{\begin{array}{ll}\lambda & \text{se }0\le n<B\\ 0& \text{se }n\ge B\end{array}$$

Número de requisiçõesc

$${\mu }_n=\{\begin{array}{ll}n\mu & \text{se }1\le n<B\\ m\mu & \text{se }m\le n\le B\end{array}$$

Probabilidade de n usuários no sistema ($P_n$)

$$P_n=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{n!}(\frac{\lambda }{\mu }{)}^n{P}_0& \text{se }1\le n<B-1\\ \frac{1}{m^{n-m}m!}(\frac{\lambda }{\mu }{)}^n{P}_0& \text{se }m\le n\le B\end{array}$$

Probabilidade de 0 usuários no sistema ($P_0$)

$$P_n=\{\begin{array}{ll}[{\sum }_{n=0}^{m-1}\frac{1}{n!}(\frac{\lambda }{\mu }{)}^n+(\frac{\lambda }{\mu })\frac{B-m+1}{m!}{]}^{-1}& \text{se }\rho =\frac{\lambda }{m\mu }=1\\ [{\sum }_{n=0}^{m-1}\frac{1}{n!}(\frac{\lambda }{\mu }{)}^n+(\frac{\lambda }{\mu })\frac{(1-\rho {)}^{B-m+1}}{m!(1-\rho )}{]}^{-1}& \text{se }\rho =\frac{\lambda }{m\mu }\ne 1\end{array}$$

Taxa de utilização do Sistema (U):

$U=\rho (1-P_0)$

Taxa efetiva ${\lambda }^{\prime }$

${\lambda }^{\prime }=\lambda (1-P_B)$

Taxa de perda ${\lambda }_{\text{perda}}$

${\lambda }_{\text{perda}}=\lambda P_B$

Número Médio de usuários no sistema $E[n]$:

$E[n]={\sum }_{n=1}^{B}n{P}_n$

Número médio de usuários no sistema na fila $E[n_w]$ $E[n_w]={\sum }_{n=m+1}^B(n-m)P_n$

Tempo médio de resposta $E[s]$: $E[s]=\frac{E[n]}{\lambda (1-P_B)}$

Tempo médio de espera $E[s]$: $E[s]=\frac{E[n_w]}{\lambda (1-P_B)}$

Resolução Exemplo:

Chegada: $\lambda =10$ reqs/s Serviço: $\mu =12$ reqs/s Capacidade Máxima B: $5$ requisições

Cálculos: Taxa de utilização por sevidor ($\rho$): Intensidade de tráfego (U): Probabilidade de nenhuma requisição no sistema ($P_0$): Probabilidade do sistema descartar requisições ($P_B$); Taxa efetiva de chegada (${\lambda }^{\prime }$); Taxa efetiva de perda (${\lambda }_{\text{perda}}$); Número médio de usuários no sistema (E$[n]$): Número médio de usuários na fila (E$[n_w]$): Tempo médio de resposta (E$[s]$): Tempo médio de espera (E$[w]$):