260405-Aula-Atividades Filas-1

Notas de Aula - Atividades Filas

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Questão 1 - Servidor de Autenticação Acadêmica

Dados: Chegada ($\lambda$) = 8 reqs/min Atendimento ($\mu$) = 12 reqs/min Modelo: M/M/1/$\infty$/FIFO

a) se o servidor opera com folga; -> Sim, pois $\rho <1$ b) se a fila média já é perceptível; -> $\text{E}[n_w]\approx 1,333$ já é perceptível

Passo a passo:

Utilização: $\rho =\frac{\lambda }{\mu }=\frac{8}{12}=0,667⟹66,67\%$ Número médio: $\text{E}[n]=\frac{\rho }{1-\rho }=\frac{0,667}{0,333}=2$ Número médio na fila: $\text{E}[n_w]=\frac{{\rho }^2}{1-\rho }=\frac{0,444}{0,333}=1,3333$ Tempo médio no sistema: $\text{E}[s]=\frac{1}{\mu (1-\rho }=\frac{1}{12\cdot 0,3333}=0,25$ min Tempo médio de espera: $\text{E}[w]=\text{E}[s]-\frac{1}{\mu }=0,25-\frac{1}{12}=0,1667$ min

c) se a chance de haver pelo menos 4 requisições no sistema é relevante

Probabilidade de haver pelo menos 4 requisições: $\text{P}(N\ge 4)={\rho }^4=(0,667{)}^4=0,198$

Questão 6 - Balanceador com 2 servidores

a) se a utilização por servidor é saudável; -> U e $\rho$ b) se a chance de espera ainda é relevante; -> $\text{E}[n_w]$ c) se o tempo médio total de resposta está adequado. -> $\text{E}[w]$

Dados: Número de servidores ($m$) = 2 Chegada ($\lambda$) = 8 reqs/min Atendimento ($\mu$) = 12 reqs/min Modelo: M/M/m/$\infty$/FIFO

Passo a passo:

Utilização (U) = $\frac{\lambda }{\mu }=\frac{2}{2}=1$ Utilização ($\rho$) = $\frac{\lambda }{m\mu }=\frac{2}{4}=0,5⟹50\%$

Probabilidade de não ter ninguém (${\text{P}}_0$): $P_0=(\frac{U^m}{m!(1-\rho )}+{\sum }_{n=0}^{m-1}\frac{U^n}{n!}{)}^{-1}=[\frac{U^0}{0!}+\frac{U^1}{1!}+\frac{U^2}{2!(1-\rho )}{]}^{-1}=[1+1+1{]}^{-1}=0,333$ Probabilidade de todos os servidores estarem ocupados ($C(m,\rho )$): $P[\text{fila}]=C(m,\rho )=P_0\frac{U^m}{m!(1-\rho )}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2\cdot 0,5}=0,333⟹33,34\%$

Número médio na fila ($E[n_w]$) = $\frac{\rho }{1-\rho }\cdot C=\frac{0,5}{0,5}\cdot 0,333=0,333$ Número de requisições no sistema: $E[n]=E[n_w]+E[n_s]=0,333+1=1,333$ Tempo médio de espera na fila ($\text{E}[w]$): $\frac{\text{E}[n_w]}{\lambda }=\frac{0,333}{2}=0,1667$ min Tempo médio de espera de resposta ($\text{E}[s]$): $\frac{\text{E}[n]}{\lambda }=\frac{1,333}{2}=0,6667⟹40s$ min

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Resolução Teste 2025.2

Resumo de fórmulas com perguntas:

**Cuidado com as unidades de tempo! 1h = 60 min = 3600 segundos

Um servidor, então modelo: M/M/1/$\infty$/FIFO; se tiver m servidores, então modelo: M/M/m/$\infty$/FIFO

Modelo 1 - M/M/1/$\infty$/FIFO

Só tem UM único servidor:

1. Servidor opera com folga/estável? $\rho =\frac{\lambda }{\mu }$ Aqui calcular a taxa de serviço $\rho$

2. A fila média é perceptível/ultrapassa? $\text{E}[n]=\frac{\rho }{1-\rho }$ e $\text{E}[n_w]=\frac{{\rho }^2}{1-\rho }$ Aqui calcular o número médio no sistema $\text{E}[n]$ e o número médio na fila $\text{E}[n_w]$ A resposta será o $\text{E}[n_w]$

3. O tempo médio fica abaixo de X segundos? $\text{E}[s]=\frac{1}{\mu (1-\rho )}<X$ Aqui calcular o tempo médio no sistema $\text{E}[s]$

4. Chance de haver X chamados? $P(N\ge X)={\rho }^X$ Aqui calcular a probabilidade $P$

Modelo 2 - M/M/m/$\infty$/FIFO

Tem MAIS de UM servidor (unidade de processamento)

1. Servidor opera com folga/estável? $\rho =\frac{\lambda }{m\mu }$; $U=\frac{\lambda }{\mu }$ Aqui calcular a taxa de serviço de cada servidor $\rho$

2. A probabilidade de todos analistas estarem ocupados? $P_0=(\frac{U^m}{m!(1-\rho )}+{\sum }_{n=0}^{m-1}\frac{U^n}{n!}{)}^{-1}$ e $C(m,\rho )={\text{P}}_0\cdot \frac{U^m}{m!(1-\rho )}$ Aqui a resposta é $C(m,\rho )$

3. A fila média é perceptível/ultrapassa? $\text{E}[n_w]=\frac{\rho }{1-\rho }\cdot C(m,\rho )$; $\text{E}[n]=\text{E}[n_w]+U$ Aqui calcular o número médio no sistema $\text{E}[n]$ e o número médio na fila $\text{E}[n_w]$ A resposta será o $\text{E}[n_w]$

4. A espera média de ultrapassa X segundos? $\text{E}[w]=\frac{\text{E}[n]}{\lambda }<X$ Aqui calcular o tempo de espera (wait) $\text{E}[w]$

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Questão 1 - Sistema Suporte Técnico

Modelo: M/M/1/$\infty$/FIFO Chegada ($\lambda$) = 9 requisições/min Taxa de serviço ($\mu$) = 15 chamados/min

Passo 1: Calcular $\rho =\frac{\lambda }{\mu }=\frac{9}{15}=0,6⟹60\%$ a) O servidor opera com folga, 60%

Passo 2: $E[n],E[n_w]$ Número médio no sistema: $\text{E}[n]=\frac{\rho }{1-\rho }=\frac{0,6}{1-0,6}=1,5$ Número médio na fila: $E[n_w]=\frac{{\rho }^2}{1-\rho }=\frac{0,6^2}{1-0,6}=0,9$

b) A fila média é perceptível ($E[n]=0,9$)

Passo 3: $E[s]$ Tempo médio o Sistema: $E[s]=\frac{1}{\mu (1-\rho )}=\frac{1}{15(1-0,6)}=0,1667⟹10$ s c) o tempo médio total no sistema fica abaixo de 12s

Passo 4: $P(N\ge 4)={\rho }^4=0,6^4\approx 0,1296⟹12,96\%$ d) a chance de ter pelo menos 4 chamados no sistema é baixa, acima de 10%

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Questão 2 - Plataforma de aulas

Modelo: M/M/1/$\infty$/FIFO Chegada ($\lambda$): $42$ vídeos/hora Taxa de serviço ($\mu$): $60$ vídeos/hora

Passo 1: $\rho$ $\rho =\frac{\lambda }{\mu }=\frac{42}{60}=0,7$ a) Ele está estável, $\rho <1$

Passo 2: $E[n_w]<1$ $E[n_w]=\frac{\rho 2}{1-\rho }=\frac{0,7^2}{1-0,7}=1,633$ b) A fila média ultrapassa 1 vídeo.

Passo 3: $E[w]=E[s]-\frac{1}{\mu }$ $E[s]=\frac{1}{\mu (1-\rho )}=\frac{1}{60(0,3)}=0,05$ h $E[w]=0,05-\frac{1}{60}=0,03⟹2,333$ min

c) Tempo médio total no sistema abaixo de 4 minutos; (Gabarito: 3,33, acho que tá errado, deveria ser 2,33)

Passo 4: $P(N\ge 5)$ ${\rho }^5=0,1680⟹16,80\%$ d) Já merece atenção.

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Questão 3 - Sistema de monitoramento industrial

Modelo: M/M/4/$\infty$/FIFO Chegada ($\lambda$) = 8 eventos/min Serviço ($\mu$) = 3 eventos/min Processadores ($m$) = 4

Passo 1: $U,\rho$ $U=\frac{\lambda }{\mu }=\frac{8}{3}=2,667$ $\rho =\frac{\lambda }{m\mu }=\frac{8}{4\cdot 3}=0,667$ a) a arquitetura está bem;

Passo 2: $P_0$ $P_0=(\frac{U^m}{m!(1-\rho )}+{\sum }_{n=0}^{m-1}\frac{U^n}{n!}{)}^{-1}=[\frac{2,667^0}{0!}+\frac{2,667^1}{1!}+\frac{2,667^2}{2!}+\frac{2,667^3}{3!}+\frac{2,667^4}{4!(1-0,667)}{]}^{-1}$ $=[1+2,667+1,778+3,161+6,33{]}^{-1}=0,06$

Probabilidade de todos os servidores estarem ocupados ($C(m,\rho )$): $P[\text{fila}]=C(m,\rho )=P_0\frac{U^m}{m!(1-\rho )}=0,06\cdot \frac{2,667^4}{4!(1-0,667)}=0,06\cdot 6,33=0,3798$ b) Permanece abaixo de 40%

Passo 3: $E[n_w]$ $E[n_w]=\frac{\rho }{1-\rho }\cdot C=\frac{0,667}{1-0,667}\cdot 0,3798=2\cdot 0,3798=0,7596⟹75,96\%$ c) A fila média é inferior a 1 evento;

Passo 4: $E[n]=E[n_w]+U=0,7596+2,667=3,4266$ $E[w]=\frac{E[n_w]}{\lambda }=\frac{0,7596}{8}=0,09495$ min $E[s]=\frac{E[n]}{\lambda }=\frac{3,4266}{8}=0,4275⟹=25,65$ s

d) Fica abaixo de 30 s;

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Questão 4 - Central de protocolas

Modelo: M/M/3/$\infty$/FIFO Chegada ($\lambda$): 9 solicitações/min Serviço ($\mu$): 4 solicitações/min Processadores ($m$): 3 analistas

Passo 1: $U,\rho$ $U=\frac{\lambda }{\mu }=\frac{9}{4}=2,25$ $\rho =\frac{\lambda }{m\mu }=\frac{9}{3\cdot 4}=0,75$ a) É alta

Passo 2: $P_0$ $P_0=(\frac{U^m}{m!(1-\rho )}+{\sum }_{n=0}^{m-1}\frac{U^n}{n!}{)}^{-1}=[\frac{2,25^0}{0!}+\frac{2,25^1}{1!}+\frac{2,25^2}{2!}\frac{2,25^3}{3!(1-0,75)}{]}^{-1}$ $=[1+2,25+2,53125+7,59{]}^{-1}=0,0748$ Probabilidade de todos os servidores estarem ocupados ($C(m,\rho )$): $P[\text{fila}]=C(m,\rho )=P_0\frac{U^m}{m!(1-\rho )}=0,0748\cdot \frac{2,25^3}{3!(1-0,75)}=0,0748\cdot 7,59=0,5678⟹56,78\%$ b) Ultrapassa 50%.

Passo 3: $E[n_w]$ $E[n_w]=\frac{\rho }{1-\rho }\cdot C=\frac{0,75}{1-0,75}\cdot 0,6192=3\cdot 0,5678=1,703$

c) A fila média é SUPERIOR a 1 evento, sendo relevante;

Passo 4: $E[n]=E[n_w]+U=1,703+2,25=3,953$ $E[w]=\frac{E[n_w]}{\lambda }=\frac{1,703}{9}=0,189\cdot 60⟹11,36$ s $E[s]=\frac{E[n]}{\lambda }=\frac{3,953}{9}=0,439⟹=26,36$ s d) Fica ACIMA de 10 s;

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Questão 5 - Sistema acadêmico

Modelo: M/M/1/$\infty$/FIFO

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Chegada ($\lambda$): $12$ registros/min Taxa de serviço ($\mu$): $20$ registros/min

Passo 1: $\rho$ $\rho =\frac{\lambda }{\mu }=\frac{12}{20}=0,6$ a) Ele está estável, $\rho <1$ e opera com folga.

Passo 2: $E[n_w]<1$ $E[n_w]=\frac{\rho 2}{1-\rho }=\frac{0,6^2}{1-0,6}=0,9$ b) A fila média é perceptível.

Passo 3: $E[w]=E[s]-\frac{1}{\mu }$ $E[s]=\frac{1}{\mu (1-\rho )}=\frac{1}{20(0,4)}=0,125$ h $E[w]=0,125-\frac{1}{20}=0,075⟹4,5$ s

c) Tempo médio total no sistema abaixo de 8 s (4,5s) (No gabarito aparece 7,5s, acho que está errado!)

Passo 4: $P(N\ge 5)$ ${\rho }^5=0,1296⟹12,96\%$ d) A chance é baixa.

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